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Mar 11

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Una formula sulla somma di potenze

Abbiamo visto in classe alcuni prodotti interessanti. Non interessanti in sè (quale moltiplicazione potrebbe mai esserlo?) Interessanti per le conseguenze che hanno. Il primo prodotto di questo tipo è

\displaystyle (x+1)(x-1)=x^{2}-1

Provando poi con {(x^{2}+x+1)(x-1)} abbiamo visto che

\displaystyle (x^{2}+x+1)(x-1)=x^{3}+x^{2}+x-(x^{2}+x+1)=\boxed {x^3-1}

Si comincia a scorgere qualche regolarità; proviamo ad allungare il primo polinomio:

\displaystyle (x^{3}+x^{2}+x+1)(x-1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+

\displaystyle -x^{3}-x^{2}-x-1=\boxed {x^4-1}

Ci si accorge che in queste moltiplicazioni si ottiene sempre come risultato un binomio del tipo {x^{n}-1}. Tutto questo è evidente nell’ultimo prodotto: a parte i termini {x^{4}} e {-1}, tutti gli altri si annullano. Questo è vero anche se aumentiamo i termini del primo polinomio, poiché la regolarita osservata continua a valere. Quindi

\displaystyle (x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)(x-1)=x^{5}-1

\displaystyle (x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)(x-1)=x^{6}-1

e in generale:

\displaystyle \boxed {(x^ n+x^{n-1}+\cdots x^2+x+1)(x-1)=x^{n+1}-1}

Bene, la cosa interessante è che questa formula ci consente di calcolare la somma di potenze crescenti di un numero. Infatti possiamo scrivere la stessa formula in questo modo (l’unico cambiamento che ho fatto e di invertire i termini della somma…. solo perche mi piace scrivere le potenze in ordine crescente, ma non è obbligatorio)

\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots x^{n-1}+x^{n}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}

Quindi, per esempio, se ci troviamo a dover calcolare

{1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{30}}

possiamo scrivere immediatamente il risultato:

\displaystyle \frac{2^{31}-1}{2-1}=2^{31}-1

Già che ci siamo, diciamo anche che una successione di potenze crescenti di un numero x si chiama progressione geometrica di ragione x. Quindi, la successione

{1\quad 2\quad 2^{2}\quad 2^3 \quad 2^4 \dots}

è una progressione geometrica di ragione 2.

{lang: 'it'}

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