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Ott 05

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Sulla divisione tra numeri naturali

Torniamo alla “vecchia” divisione che si faceva alle scuole elementari. Quanto fa 19:5? Il 5 sta nel 19 3 volte, ma avanza un resto, 4. Se vogliamo dividere 19 oggetti a gruppi di 5 riusciremo a formare 3 gruppi ma avanzeranno 4 oggetti, quindi:

Il 3 si chiama quoziente e indica il numero dei gruppi, mentre il 4 è il resto della divisione (ciò che avanza dopo aver formato il massimo numero di gruppi possibile). Questa operazione si chiama divisione euclidea, qualcosa che voi conoscete (o dovreste conoscere) molto bene e che è bene recuperare.

Quando dobbiamo dividere un numero (che indichiamo con n) per 4, ci si presentano diverse possibilità: n può essere divisibile per 4 e la sua “forma” è

perché ovviamente deve essere un multiplo di 4. Però è possibile che avanzi qualcosa, quello che noi chiamiamo resto. Per esempio il 25, quando viene diviso per 4, dà come resto 1. Ciò significa che possiamo scrivere il 25 come un multiplo di 4 più 1:

Naturalmente vi sono altri numeri di questo tipo, per esempio il 5 che si può scrivere come oppure il 21 che è uguale a . In generale, tutti i numeri che hanno resto 1 quando vengono divisi per 4 hanno la forma

Ma sappiamo che la divisione per 4 può produrre altri resti: il 2 e il 3, quindi, pensando alla divisione per 4, possiamo ripartire tutto l’insieme dei numeri naturali in quattro sottoinsiemi:

  • I multipli di 4, cioè i numeri del tipo 4k
  • Quelli che hanno resto 1, che hanno la forma 4k+1
  • quelli che hanno resto 2, della forma 4k+2
  • quelli che hanno resto 3, della forma 4k+3

Ciò che abbiamo detto per il 4 si può naturalmente estendere agli altri numeri: per esempio la divisione per 7 induce una partizione dell’insieme N in 7 sottoinsiemi (i multipli di 7 e quelli che hanno resto rispettivamente 1, 2, 3, 4, 5 e 6).

In generale, la divisione per un numero naturale n induce una suddivisione dell’insieme dei numeri naturali in n sottoinsiemi, ognuno contenente numeri che, divisi per n, hanno lo stesso resto.

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