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Set 16

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Numeri triangolari

Da Gauss ai numeri triangolari…. una lezione tra aritmetica e geometria. Dunque, partiamo dai numeri quadrati, quelli che si ottengono moltiplicando un numero per se stesso e che hanno la forma

La genesi del nome numero quadrato è chiara: ha a che fare con l’area del quadrato di lato n. Per esempio, il numero 25 è il quinto numero quadrato; lo indichiamo con e possiamo raffigurarlo in questo modo:

Schermata 2009-09-16 a 18.01.02

Oltre ai numeri quadrati troviamo i numeri triangolari: sono quei numeri che si possono raffigurare con un triangolo, come questo:

Numero triangolare

Nella figura ci sono 6 punti che si dispongono per formare un triangolo rettangolo (isoscele) di lato tre: quindi 6 è il terzo numero triangolare. Se vogliamo passare al quarto numero triangolare basta aggiungere una riga con 4 punti:

q4

Abbiamo così il quarto numero triangolare, 10. Se invece togliamo l’ultima riga dal triangolo di lato tre, restano 3 punti, che formano il secondo numero triangolare. Scriviamo in una tabella i numeri quadrati e quelli triangolari:

I numeri quadrati e triangolari

E’ facile ricavare il valore di un numero quadrato: basta elevare al quadrato il numero, quindi non abbiamo bisogno di costruire nessuna figura per sapere che il 20° numero quadrato è 400. Ma quale sarà la formula dei numeri triangolari?  Che valore ha il 20° numero triangolare?

Vogliamo ricavare una formula che ci permette di calcolare i numeri triangolari, così come facciamo per i quadrati. Avete notato innanzitutto che si può costruire la successione dei numeri triangolari (1,3,6,10,15,21…) aggiungendo ogni volta un numero in più a quello precedente. Per chiarirci:

  • per passare da 1 a 3 si aggiunge 2
  • per passare da 3 a 6 si aggiunge 3
  • per passare da 6 a 10 si aggiunge 4
  • per passare da 10 a 15 si aggiunge 5
  • …. e così via

Abbiamo visto come fece Gauss a risolvere il problema. Voi invece, in classe, avete seguito una strada diversa. Una strada che passa per la geometria e che qui ricostruiamo. Siamo partiti da un’idea di Elena che si rivelerà feconda:  se per calcolare un quadrato si calcola l’area del quadrato…. per i numeri triangolari si può calcolare l’area di un triangolo. Quindi per determinare – ad esempio – il sesto numero triangolare, possiamo calcolare l’area del triangolo di base 6 e altezza 6. Il risultato è

Ma quando siamo andati a disegnare il numero triangolare di lato 6, abbiamo contato 21 punti!!

q6

Come mai la formula per l’area del triangolo non funziona? Da dove vengono i tre punti in più? Beh… in realtà quando calcoliamo l’area del triangolo, i punti sul lato obliquo vengono “divisi a metà” dal lato. Per questo la formula dell’area conta solo la metà dei punti sul lato obliquo e sta a noi aggiungere la metà mancante:

q6b

Nel caso del sesto numero triangolare all’area del triangolo dobbiamo aggiungere la metà dei 6 punti sul lato obliquo (6/2). Il numero dei punti si può calcolare così:

Nel caso generale, quando il lato è n, il numero triangolare è uguale all’area del triangolo di lato n (in rosso) più la metà dei punti sul lato obliquo (in blu):

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