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Mar 23

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Luoghi geometrici con GeoGebra. Le concoidi

Ultima lezione in laboratorio prima delle vacanze pasquali. Dopo le ultime settimane, sicuramente stressanti per via dei pagellini di metà quadrimestre, era doverosa una lezione rilassante, così ho pensato che sarebbe stato divertente giocare un po’ con GeoGebra.

Abbiamo visto come usare lo strumento Luogo e lo abbiamo sfruttato per costruire due belle curve: la concoide della circonferenza (con la cardioide come caso particolare) e la concoide di Nicomede.

Le concoidi sono famiglie di curve che si costruiscono a partire da una curva-base (es. una retta o una circonferenza) e un numero. Per costruire la concoide generalizzata si parte da una curva e da un suo punto. Noi siamo partiti da una circonferenza e da un segmento di lunghezza k. Si disegna una retta per quel punto e si determina il secondo punto P di intersezione con la circonferenza. Da questo punto, sulla retta, si staccano due punti a distanza k da P. Ruotando la retta i due punti descrivono la concoide.

Nella figura potete vedere un’animazione relativa alla concoide della circonferenza. I due punti K e L nell’animazione descrivono la stessa curva. Se variate la distanza tra i punti G e H (che definisce il valore di k) potete vedere come varia la forma della concoide. Quando il “ricciolo” sparisce e diventa un punto sulla circonferenza di base, si ottiene la cardioide.

Una costruzione simile, a partire da una retta, ci consente di costruire la concoide di Nicomede. Da un punto esterno C ad una retta a si conduce una retta, si traccia l’intersezione con una retta assegnata e da questo punto si riportano altri due punti a distanza k (in figura sono M e L). Questi due punti, al ruotare della retta per il punto C, disegnano la concoide. Anche qui potete vedere come cambia la forma della concoide variando la lunghezza del segmento EF (corrispondente a k)

Osservate bene l’animazione: quando i punti M e L “scappano” verso l’infinito da una parte, li ritrovate sul ramo di curva opposto, segno che la concoide di Nicomede si “chiude” all’infinito; in pratica solo apparentemente è formata da due rami. Se consideriamo anche i punti all’infinito la concoide si chiude!

Ed ecco anche gli appunti con le istruzioni dettagliate per le due costruzioni (da utilizzare con Geogebra).

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