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Mag 04

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Le equazioni della parabola

Abbiamo visto diverse forme per l’equazione della parabola; partendo da una parabola con centro nell’origine (con direttrice di equazione y=-d e fuoco nel punto F(0,d)), con una successiva traslazione abbiamo spostato il vertice nel punto V(h,k), ottenendo l’equazione y-k=a(x-h)^2 che abbiamo anche riscritto nella forma

y=a(x-h)^2+k

Chiameremo questa forma dell’equazione forma-vertice, perché è strettamente legata alle coordinate del vertice, oltre che al coefficiente che determina l’apertura (e quindi la distanza focale d=\frac{1}{4a}).

Quando viene scritta in questa forma è facile determinare gli elementi fondamentali di una parabola (vertice, fuoco e direttrice). Per esempio, la parabola di equazione y=3(x+2)^2-1 ha vertice nel punto V(-2,-1); per trovare il fuoco determiniamo prima la distanza focale d=\frac{1}{4a}=\frac{1}{12} e quindi troviamo il fuoco aggiungendo 1/12 all’ordinata del vertice: F(-2,-1+\frac{1}{12})=F(-2,\frac{11}{12}). La direttrice si trova dall’altra parte del fuoco rispetto al vertice, quindi la sua equazione sarà y=-1-\frac{1}{12} cioè y=-\frac{13}{12}.

Abbiamo poi visto la forma canonica dell’equazione di una parabola: y=ax^2+bx+c. Scritta in questa forma non è agevole determinare gli elementi della parabola, quindi conviene riscriverla nella forma-vertice. Abbiamo visto che si può fare completando il quadrato al secondo membro dell’equazione. Per accelerare la procedura abbiamo notato che il vertice ha ascissa x_V=-\frac{b}{2a}; conoscendo l’ascissa si ricava l’ordinata a partire dall’equazione. Ecco un esempio:

La parabola di equazione y=-2x^2+4x-1 ha il vertice la cui ascissa è

x_V=\dfrac{-4}{-4}=1

Calcoliamo l’ordinata sostituendo il valore 1 nell’equazione della parabola: y_V=-2+4-1=1. Il vertice ha così coordinate (1,1) e pertanto possiamo riscrivere l’equazione della parabola nella forma-vertice:

y=-2(x-1)^2+1

Una volta noto il vertice sarà poi possibile ricavare fuoco e direttrice. L’equazione della parabola può assumere anche un’altra forma, che si basa sulle radici del polinomio a secondo membro. Dette x_1,x_2 le ascisse delle eventuali intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse, possiamo scrivere l’equazione nella forma (che diremo forma-intercetta)

y=a(x-x_1)(x-x_2)

In questa forma sono evidenti le intersezioni con l’asse x; per ragioni di simmetria il vertice avrà ascissa

x_V=\dfrac{x_1+x_2}{2}

Detta s la distanza tra una delle intersezioni e l’asse di simmetria (s=\frac{x_2-x_1}{2}), si può esprimere l’ordinata del vertice così:

 y_V=a(x_V-x_1)(x_V-x_2)=-as^2=-\dfrac{a(x_2-x_1)^2}{4}

Per fare un esempio: la parabola di equazione y=\frac{1}{3}(x-3)(x+4) ha vertice nel punto di ascissa x_V=\frac{3-4}{2}=-\frac{1}{2}; essendo in questo caso s=(4+3)/2, abbiamo anche

y_V=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{7}{2}\right)^2=-\dfrac{49}{12}

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3 comments

  1. andrea

    quali sono le coodinate del vertice della parabola di equazione y=2×2+3

  2. andrea

    quale delle seguenti affermazioni sulla parabola di equazione y=-x2+4x e falsa.
    a. la parabola passa per l’origine o.
    b. la parabola he vertice nell’origine o.
    c.la parabola volge la concavità verso il basso.
    d. l’asse della parabola e la retta di equazione x=2.
    e. il fuoco della parabola ha coodinate ( 2;_15/4).

  3. Michele Passante

    Qualcuno vuole rispondere?

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