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Ott 06

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Un esercizio sulle potenze

Tempo fa avevo proposto di determinare la cifra delle unità di . Torno sull’argomento per ricordare come abbiamo risolto l’esercizio.

Inizialmente qualcuno (non facciamo nomi) propose di calcolare , pensando che si potesse tranquillamente scambiare la base con l’esponente. Beatrice ci ha mostrato che questo non è vero, mostrando ad esempio che le potenze e non hanno lo stesso valore, giungendo alla conclusione che certamente non possono averlo neanche e . Ho fatto notare che questa deduzione era forse affrettata e ho invitato a pensare ad un caso (non banale) in cui lo scambio tra base ed esponente non fa cambiare valore alla potenza. Di nuovo Beatrice ci ha dato la risposta, notando che effettivamente sia che hanno come valore 16.

Volendo evitare di calcolare effettivamente il valore di (ma dopo pochi passaggi ci si renderà facilmente conto del fatto che è enormemente più grande di ) ci si può limitare a fare considerazioni di divisibilità: è certamente divisibile per 3, mentre non può esserlo perché non lo è 2009. Possiamo quindi affermare, senza fare troppi conti, che i due valori sono diversi.

Detto questo, torniamo alla domanda originale: come si fa a determinare la cifra delle unità di ?

Si può iniziare a calcolare le potenze di 3, osservando che non è indispensabile tener conto di tutte le cifre dei numeri che si ottengono. Per esempio, e per calcolare la cifra delle unità di possiamo limitarci a calcolare e dire che la cifra delle unità di è 1. Compiliamo allora una tabella che contiene le potenze di 3 e le rispettive cifre delle unità:

Potenze di 3Si nota che le cifre delle unità si ripetono con regolarità: 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7…

C’è un periodo di lunghezza 4: questo significa (l’ha fatto notare Ivano) che possiamo associare ad ogni numero naturale n una cifra delle unità, esattamente come ad ogni numero naturale corrisponde un resto nella divisione per 4 (qui ci agganciamo al discorso fatto sulla divisione intera). Seguendo questa traccia e osservando la tabella scopriamo che:

  • Se n è multiplo di 4, cioè n=4k allora la cifra delle unità di è 1
  • Se n=4k+1 allora la cifra delle unità di è 3
  • Se n=4k+2 allora la cifra delle unità di è 9
  • Se n=4k+3 allora la cifra delle unità di è 7

A questo punto basta sapere il resto della divisione di 2009 per 4. Poichè 2008 è un multiplo di 4, tale resto è uno e quindi la cifra delle unità di è 3.

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