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Mar 12

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Il perimetro di un fiocco di neve (seconda parte)

Continuiamo l’esame del fiocco di neve (che in realtà si chiama curva di Koch, dal nome del matematico che l’ha studiata), ricordando in che modo lo abbiamo ottenuto: si parte da un triangolo equilatero di lato unitario e si divide ogni lato in tre parti, costruendo sulla parte centrale un altro triangolo equilatero. Nella figura seguente è mostrato il procedimento su un singolo lato.



Ogni lato viene sostituito da quattro segmenti di lunghezza pari a {\frac{1}{3}}, quindi il perimetro della figura {P_{1}} è uguale a {\frac{4}{3}\cdot 4=4}. La lunghezza di ogni lato è stata moltiplicata per {\frac{4}{3}} e questo vale anche per il perimetro della figura {P_{1}}.

Se ripetiamo il procedimento sui 12 lati di {P_{1}} ognuno di questi viene sostituito da una spezzata la cui lunghezza è i {\frac{4}{3}} del lato che sostituisce. Di nuovo, il perimetro di {P_{2}} e’ i{\frac{4}{3}} di quello di {P_{1}}. Se indichiamo con {per(P)} il perimetro della figura {P} possiamo scrivere

\displaystyle per(P_{2})=\frac{4}{3}\cdot per(P_{1})=\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}per(P_{0})=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}per(P_{0})

Dopo ogni iterazione il perimetro della figura è uguale ai {\frac{4}{3}} di quello precedente. Quindi il perimetro della figura {P_{n}} è uguale a

\displaystyle \left(\frac{4}{3}\right)^{n}\cdot P_{0}=\left(\frac{4}{3}\right)^{n}\cdot 4

Nella tabella seguente riportiamo i valori del perimetro dopo le prime 10 iterazioni

Riportando su un grafico i valori del perimetro in corrispondenza di ogni passaggio ci si rende conto che i valori aumentano sempre di più.

Al passo 20 il perimetro è uguale a 946, al passo 100 è di oltre 9.000 miliardi!!

In matematica questo andamento è detto di tipo esponenziale: il nome deriva dal fatto che il valore del perimetro dipende da un esponente, in questo caso dall’esponente di {\frac{4}{3}}. Il fatto che la base sia maggiore di 1 ha come conseguenza che il perimetro cresce al crescere di {n}: sappiamo che questo è l’effetto che si ottiene moltiplicando ogni volta per {\frac{4}{3}}.

Il fiocco di neve, che si ottiene iterando infinite volte il procedimento, ha quindi un perimetro infinito! Curioso: una curva limitata nel piano, e che può essere contenuta in un cerchio di raggio 1, ha una lunghezza infinita.

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