Archivio Categoria: Aritmetica

Feb 27

Il perimetro di un fiocco di neve (prima parte)

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Feb 05

Alcune soluzioni interessanti

E’ passato un bel po’ dall’ultimo intervento da queste parti ed è ora di rivitalizzare il blog…

Lo farò tornando su un esercizio di qualche tempo fa che prenderò come pretesto per alcune osservazioni valide in generale.

Vedo che la maggior parte di voi si trova in difficoltà quando deve spiegare cosa fa e perché lo fa. Bisogna che ci capiamo, perché la matematica non può essere ridotta ad un insieme di ricette da applicare a memoria, non si sa bene per quale motivo. Inoltre, può essere utile usare anche le parole, oltre ai simboli…

Purtroppo continuo a vedere compiti risolti in modo approssimativo e disordinato, anche se corretti da un punto di vista matematico. Ebbene, non ci si può accontentare di una soluzione stringata; se è esplicitamente richiesto la soluzione deve essere accompagnata da una descrizione esauriente dei metodi utilizzati; magari anche con schemi e disegni.

Nell’ultimo lavoro, quello sulle frazioni egiziane, c’erano alcune domande in cui si richiedeva esplicitamente una cosa del genere. Farò vedere qui un paio di soluzioni che ritengo molto valide. Leggi il resto »

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Dic 21

Le frazioni egiziane

Dopo le frazioni continue, ecco a voi le frazioni egiziane! Come ho detto oggi in classe gli antichi egizi avevano uno strano modo di scrivere le frazioni: usavano solo frazioni unitarie, cioè frazioni con il numeratore uguale a 1. Ogni altra frazione veniva scritta come somma di frazioni unitarie. Per esempio, una fazione come 2/9 veniva scritta così:

Nella scheda seguente, da leggere e compilare comodamente durante le vacanze, troverete qualche utile notizia sulle frazioni egiziane, come si ricavano e in che modo possono aiutarci nelle divisioni. Già, perché tutto questo può anche essere utile!

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Dic 14

Appunti sulle frazioni continue

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Nov 03

Crittografia e aritmetica modulare

Ecco un’applicazione pratica dell’aritmetica modulare. Questa è la scheda da riconsegnare entro lunedì 9 novembre (tratto da Navigating through Number and Operations in Grades 9-12 – NCTM)

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Ott 06

Un esercizio sulle potenze

Tempo fa avevo proposto di determinare la cifra delle unità di . Torno sull’argomento per ricordare come abbiamo risolto l’esercizio.

Inizialmente qualcuno (non facciamo nomi) propose di calcolare , pensando che si potesse tranquillamente scambiare la base con l’esponente. Beatrice ci ha mostrato che questo non è vero, mostrando ad esempio che le potenze e non hanno lo stesso valore, giungendo alla conclusione che certamente non possono averlo neanche e . Ho fatto notare che questa deduzione era forse affrettata e ho invitato a pensare ad un caso (non banale) in cui lo scambio tra base ed esponente non fa cambiare valore alla potenza. Di nuovo Beatrice ci ha dato la risposta, notando che effettivamente sia che hanno come valore 16.

Volendo evitare di calcolare effettivamente il valore di (ma dopo pochi passaggi ci si renderà facilmente conto del fatto che è enormemente più grande di ) ci si può limitare a fare considerazioni di divisibilità: è certamente divisibile per 3, mentre non può esserlo perché non lo è 2009. Possiamo quindi affermare, senza fare troppi conti, che i due valori sono diversi.

Detto questo, torniamo alla domanda originale: come si fa a determinare la cifra delle unità di ? Leggi il resto »

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Ott 05

Sulla divisione tra numeri naturali

Torniamo alla “vecchia” divisione che si faceva alle scuole elementari. Quanto fa 19:5? Il 5 sta nel 19 3 volte, ma avanza un resto, 4. Se vogliamo dividere 19 oggetti a gruppi di 5 riusciremo a formare 3 gruppi ma avanzeranno 4 oggetti, quindi:

Il 3 si chiama quoziente e indica il numero dei gruppi, mentre il 4 è il resto della divisione (ciò che avanza dopo aver formato il massimo numero di gruppi possibile). Questa operazione si chiama divisione euclidea, qualcosa che voi conoscete (o dovreste conoscere) molto bene e che è bene recuperare.

Quando dobbiamo dividere un numero (che indichiamo con n) per 4, ci si presentano diverse possibilità: n può essere divisibile per 4 e la sua “forma” è

perché ovviamente deve essere un multiplo di 4. Però è possibile che avanzi qualcosa, quello che noi chiamiamo resto. Per esempio il 25, quando viene diviso per 4, dà come resto 1. Ciò significa che possiamo scrivere il 25 come un multiplo di 4 più 1:

Naturalmente vi sono altri numeri di questo tipo, per esempio il 5 che si può scrivere come oppure il 21 che è uguale a . In generale, tutti i numeri che hanno resto 1 quando vengono divisi per 4 hanno la forma

Ma sappiamo che la divisione per 4 può produrre altri resti: il 2 e il 3, quindi, pensando alla divisione per 4, possiamo ripartire tutto l’insieme dei numeri naturali in quattro sottoinsiemi:

  • I multipli di 4, cioè i numeri del tipo 4k
  • Quelli che hanno resto 1, che hanno la forma 4k+1
  • quelli che hanno resto 2, della forma 4k+2
  • quelli che hanno resto 3, della forma 4k+3

Ciò che abbiamo detto per il 4 si può naturalmente estendere agli altri numeri: per esempio la divisione per 7 induce una partizione dell’insieme N in 7 sottoinsiemi (i multipli di 7 e quelli che hanno resto rispettivamente 1, 2, 3, 4, 5 e 6).

In generale, la divisione per un numero naturale n induce una suddivisione dell’insieme dei numeri naturali in n sottoinsiemi, ognuno contenente numeri che, divisi per n, hanno lo stesso resto.

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Set 18

Test di ingresso

Il test di ingresso proposto dal Dipartimento di Matematica, Fisica e Scienze per le classi del quarto ginnasio:

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Set 16

Numeri triangolari

Da Gauss ai numeri triangolari…. una lezione tra aritmetica e geometria. Dunque, partiamo dai numeri quadrati, quelli che si ottengono moltiplicando un numero per se stesso e che hanno la forma

La genesi del nome numero quadrato è chiara: ha a che fare con l’area del quadrato di lato n. Per esempio, il numero 25 è il quinto numero quadrato; lo indichiamo con e possiamo raffigurarlo in questo modo:

Schermata 2009-09-16 a 18.01.02

Oltre ai numeri quadrati troviamo i numeri triangolari: sono quei numeri che si possono raffigurare con un triangolo, come questo:

Numero triangolare

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